Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长AB=2，若异面直线A₁A与B₁C所成角的大小为arctan

1

2

，求正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知得AA₁∥BB₁，从而tan∠CB₁B=

BC

BB1

=

1

2

，进而BB₁=4，由此能求出正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

解答： 解：∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长AB=2，
异面直线A₁A与B₁C所成角的大小为arctan

1

2

，
∴AA₁∥BB₁，
∴∠CB₁B为AA₁、B₁C所成的角，
且tan∠CB₁B=

BC

BB1

=

1

2

，…（4分）
∵BC=AB=2，
∴BB₁=4，…（6分）
∴正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V=Sh=2²×4=16．…（8分）

点评：本题考查正四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．