Question

已知点M（1，m），圆C：x²+y²=4．
（1）若过点M的圆C的切线只有一条，求m的值及切线方程；
（2）若过点M且在两坐标轴上的截距相等的直线被圆C截得的弦长为2

3

，求m的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）根据直线与圆的位置关系，经过圆上一点作圆的切线有且只有一条，因此点A在圆x²+y²=4上，将点A坐标代入圆的方程，解出m．再由点A的坐标与直线的斜率公式算出切线的斜率，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到所求切线的方程；
（2）由题意，直线不过原点，设方程为x+y-a=0，利用直线被圆C截得的弦长为2

3

，可得圆心到直线的距离为1，求出直线的方程，即可求出m的值．

解答： 解：（1）圆x²+y²=4的圆心为O（0，0），半径r=2．
∵过点A的圆的切线只有一条，
∴点A（1，m）是圆x²+y²=4上的点，可得1²+m²=4，解之得m=±

3

．
当m=

3

时，点A坐标为（1，

3

），可得OA的斜率k=

3

．
∴经过点A的切线斜率k'=-

3

3

，
因此可得经过点A的切线方程为y-

3

=-

3

3

（x-1），化简得x+

3

y-4=0；
同理可得当m=-

3

时，点A坐标为（1，-

3

），经过点A的切线方程为x-

3

y-4=0．
∴若过点A的圆的切线只有一条，则m的值为±

3

，相应的切线方程方程为x±

3

y-4=0．
（2）由题意，直线不过原点，设方程为x+y-a=0，
∵直线被圆C截得的弦长为2

3

，
∴圆心到直线的距离为1，
∴

|a|

2

=1，
∴a=±

2

，
∴所求直线方程为x+y±

2

=0，
∴m=-1±

2

．

点评：本题给出圆的方程与点A的坐标，求经过点A的圆的切线方程．着重考查了圆的方程、直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．