Question

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（已知b=0.5）
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

Answer 1

考点：回归分析的初步应用

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．
（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，

.

t

=

1

7

（1+2+3+4+5+6+7）=4，

.

y

=

1

7

（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
∴

?

b

=

(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6

9+4+1+0+1+4+9

=0.5，

?

a

=

.

y

-

?

b

•

.

t

=4.3-0.5×4=2.3．
∴y关于t的线性回归方程为

?

y

=0.5t+2.3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t=9代入

?

y

=0.5t+2.3，得：

?

y

=0.5×9+2.3=6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．

点评：本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．