Question

已知数列﹛a_n﹜为等差数列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．
（1）问2014是否是数列﹛a_n﹜中的项？如果是，计算它是第几项？否则说明理由；
（2）记﹛a_n﹜的前n项和为S_n，若a₁，a_k，S_k+2成等比数列，求正整数k的值．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出等差数列的公差，由已知列式求得公差，得到等差数列的通项公式，代入a_n=2014求解n的值；
（2）直接由a₁，a_k，S_k+2成等比数列列式求得k值．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差等于d，
则由题意可得

2a1+2d=8 2a1+4d=12

，解得 a₁=2，d=2．
∴{a_n}的通项公式a_n=2+（n-1）2=2n．
由2n=2014，得n=1007．
∴2014是否是数列﹛a_n﹜中的项，为第1007项；
（2）由（1）可得{a_n}的前n项和为S_n=

n(a1+an)

2

=n（n+1），
∵a₁，a_k，S_k+2成等比数列，
∴ak2=a₁S_k+2，
∴4k² =2（k+2）（k+3），
解得：k=6 或k=-1（舍去），
故k=6．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，考查了等比数列的性质，是中档题．