Question

如图，已知ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，PA⊥平面BCME．
（1）若E是PA的中点，证明：BE∥平面PCD；
（2）若PA=3，求三棱锥B-PCD的体积；
（3）证明：PC⊥CD．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间向量及应用

分析：（1）（方法一）取AD的中点为F，连结BF，EF．利用中位线性质，确定平行线，再运用线面平行的判断定定理即可证明．
（方法二）：取PD的中点为M，连结EM，CM．利用中位线，得出平行线，判断出；四边形BCME是平行四边形，即可证明．
（2）所抓化为VB-PCD=VP-BCD=

1

3

×PA×S△BCD=

1

3

×3×

1

2

=

1

2

．
（3）PA⊥CD．PA∩AC=A，CD⊥平面PAC，得出CD⊥平面PAC，得证CD⊥PC．

解答： 证明：法一：（1）取AD的中点为F，连结BF，EF．

∵AD=2，BC=1，
∴BC∥FD，且BC=FD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
即BF∥CD．  
∵BF?平面PCD，
∴BF∥平面PCD   
∵E，F分别是PA，AD的中点∴EF∥PD
∵EF?平面PCD，
∴EF∥平面PCD．           
∵EF∩BF=F，
∴平面BEF∥平面PCD．      
∵BE?平面BEF，
∴BE∥平面PCD．            
法二：取PD的中点为M，连结EM，CM． 
∵E为PA的中点，∴EM∥

1

2

AD，BC∥

1

2

AD，∴EM∥

1

2

BC且EM=BC
∴四边形BCME是平行四边形
即BE∥CM，
∵BE?平面PCD，
CM?平面PCD
∴BE∥平面PCD．            
（2）由已知得S△BCD=

1

2

×1×1=

1

2

，
所以 VB-PCD=VP-BCD=

1

3

×PA×S△BCD=

1

3

×3×

1

2

=

1

2

．
（3）证明：由已知易得AC=

2

，CD=

2

．           
∵AC²+CD²=AD²
∴∠ACD=90°，即AC⊥CD．
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴PA⊥CD．
∵PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．  
∵PC?平面PAC，
∴CD⊥PC．

点评：本题综合考查了空间几何体的性质，运用证明平行，垂直，求解体积问题，属于综合题，难度较大．