Question

在直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，CC₁=4，点E在线段BB₁上，且EB₁=1，D，F，G分别为CC₁，C₁B₁，C₁A₁的中点．求证：
（1）B₁D⊥平面ABD；
（2）平面EGF∥平面ABD．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用向量证明B₁D垂直平面ABD内的两条直线；
（2）根据面面平行的判定定理利用向量证明即可．

解答： 证明：（1）以B为坐标原点，BA、BC、BB₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B（0，0，0），D（0，2，2），B₁（0，0，4），设BA=a则A（a，0，0），
所以

BA

=（a，0，0），

BD

=（0，2，2），

B1D

=（0，2，-2），

B1D

•

BA

=0，

B1D

•

BD

=0+4-4=0，
即B₁D⊥BA，B₁D⊥BD．
又BA∩BD=B，
因此B₁D⊥平面ABD．
（2）由（1）知，E（0，0，3），G（

a

2

，1，4），F（0，1，4），
则

EG

=(

a

2

，1，1），

EF

=（0，1，1），

B1D

•

EG

=0+2-2=0，

B1D

•

EF

=0+2-2=0，
即B₁D⊥EG，B₁D⊥EF，
又B₁D⊥EG，B₁D⊥EF，
又EG∩EF=E，
∴B₁D⊥平面EGF，
结合（1）知，平面EGF∥平面ABD．

点评：本题主要考查线面垂直、面面平行的判定，属于基础题．