Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足：对称轴为x=-1，且x∈R时x²+x+5≤f（x）≤2x²+5x+9恒成立．
（1）求f（-2）的值；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）已知函数f（x）-kx的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，问是否存在实数k满足

AB

=2

OA

？如果存在，求出k的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件：x²+x+5≤f（x）≤2x²+5x+9，便可得到7≤f（-2）≤7，所以便得到f（-2）=7；
（2）根据f（x）的对称轴是x=-1，能够得到f（x-2）=f（-x），从而得到f（0）=f（-2）=7，所以f（x）可设成f（x）=ax（x+2）+7．所以根据x∈R时，x²+x+5≤f（x）可得到（a-1）x²+（2a-1）x+2≥0，所以a需满足

a＞1 (2a-1)2-8(a-1)≤0

，解该不等式可得a=

3

2

，这样便可得f（x）的解析式；
（3）设g（x）=f（x）-kx=

3

2

x2+(3-k)x+7，设A（x₁，0），B（x₂，0），由

AB

=2

OA

可以得到x₂=3x₁，而x₁，x₂是方程g（x）=0的两实数根，根据韦达定理即可求出k的值，并验证k是否符合条件即可．

解答： 解：（1）令x=-2，则7≤f（-2）≤7，所以f（-2）=7；
（2）由f（x）的对称轴为x=-1得，f（x-2）=f（-x），∴f（0）=f（-2）=7；
故可设二次函数f（x）=ax（x+2）+7；
对于x∈R，x²+x+5≤ax²+2ax+7，即（a-1）x²+（2a-1）x+2≥0
则（2a-1）²-8（a-1）≤0且a＞1，化简得（2a-3）²≤0，∴a=

3

2

；
∴函数f（x）的解析式为f(x)=

3

2

x2+3x+7；                         
（3）设g（x）=f（x）-kx，g(x)=

3

2

x2+(3-k)x+7；
设A（x₁，0），B（x₂，0）；
由

AB

=2

OA

有x₂=3x₁；
∵x₁，x₂是方程

3

2

x2+(3-k)x+7=0的两实数根；
由韦达定理可得，x1+x2=4x1=

2k-6

3

，x1x2=3x12=

14

3

；
∴x1=±

14

3

，

±4 14

3

=

2k-6

3

；
解得k=3±2

14

，经检验符合．

点评：考查二次函数的对称性，并且由f（x）的对称轴是x=-1能够得到f（x-2）=f（-x），并且设出f（x）=ax（x+2）+7是求解本题的关键，以及韦达定理．