Question

已知椭圆

y2

a2

+x²=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

斜率为k（k不等于0）的直线l过椭圆上焦点且与椭圆相交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于M（0，m）．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

c a = 2 2 b=1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+1，由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

，得（k²+2）x²+2kx-1=0．由此利用韦达定理和中点坐标公式给求出m的取值范围．

解答： 解：（1）∵椭圆

y2

a2

+x²=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，
∴

c a = 2 2 b=1 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1，
∴椭圆方程为

y2

2

+x2=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+1，
由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

，得（k²+2）x²+2kx-1=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁x₂=-

1

k2+2

．
可得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=

1

k2+2

．…（3分）
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为（

-k

k2+2

，

2

k2+2

），
由题意有k_MN•k=-1，得

m- 2 k2+2

k k2+2 •k

•k=-1．
解得m=

k

k2+1

，
又k≠0，所以0＜m＜

1

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．