Question

已知f（x）=

|2x2-4x|，x∈[0，3] -x，x∈[-1，0)

．
（1）试作函数f（x）的图象；
（2）若关于x的方程f（x）=a+

1

a

，在[-1，3]上有解，求a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=a+

1

a

，在[-1，3]上恰有两个解，试求这两个解的和．

Answer 1

考点：分段函数的应用,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意作函数的图象，
（2）关于x的方程f（x）=a+

1

a

，在[-1，3]上有解即f（x）与y=a+

1

a

的图象有交点，故0≤a+

1

a

≤6；从而解得，
（3）当且公当a+

1

a

=2，即a=1时，关于x的方程f（x）=a+

1

a

，在[-1，3]上恰有两个解，从而解出两个解即可．

解答： 解：（1）作函数f（x）的图象如右图，
（2）关于x的方程f（x）=a+

1

a

，在[-1，3]上有解即
f（x）与y=a+

1

a

的图象有交点，
故0≤a+

1

a

≤6；
解得，3-2

2

≤a≤3+2

2

；
（3）由题意可得，当且公当a+

1

a

=2，即a=1时，
关于x的方程f（x）=a+

1

a

，在[-1，3]上恰有两个解，
即2x²-4x=2或x=1；
解2x²-4x=2得，x=1+

2

；
故这两个解的和为2+

2

．

点评：本题考查了函数的图象的作法及应用，属于中档题．