Question

已知点F为抛物线C：y²=4x的焦点，点P为准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线为l与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为（　　）

• A、（1，4）
• B、（1，8）
• C、（4，+∞）
• D、（8，+∞）

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线C：y²=4x可得焦点F（1，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线PF的方程为：y=k（x-1）．与抛物线方程联立可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，利用根与系数的关系可得|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

．点D（-1，0）到直线AB的距离d=

|2k|

1+k2

．再利用S_△DAB=

1

2

d|AB|即可得出．

解答： 解：由抛物线C：y²=4x可得焦点F（1，0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线PF的方程为：y=k（x-1）．
联立

y=k(x-1) y2=4x

，
化为k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
则x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1．
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[(2+ 4 k2 )2-4]

=

4(1+k2)

k2

．
点D（-1，0）到直线AB的距离d=

|2k|

1+k2

．
∴S_△DAB=

1

2

d|AB|=

1

2

×

|2k|

1+k2

×

4(1+k2)

k2

=4

1 k2 +1

＞4．
∴△DAB的面积S的取值范围为（4，+∞）．
故选：C．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．