Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象经过点（0，

1

2

），且相邻两条对称轴间的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（

A

2

）-cosA=

1

2

，且bc=1，b+c=3，求a的值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）把已知点坐标代入求出φ的值，根据题意确定出周期，利用周期公式求出ω的值，即可确定出函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性确定出单调递增区间即可；
（Ⅱ）由第一问确定出的解析式，表示出f（

A

2

），代入已知等式求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，变形后将bc与b+c的值代入即可求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）把（0，

1

2

）代入解析式得：sinφ=

1

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

，
∵相邻两条对称轴间的距离为

π

2

，
∴函数的周期为π，即ω=2，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+

π

6

），
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）由第一问得：f（

A

2

）=sin（A+

π

6

），
代入得：sin（A+

π

6

）-cosA=

3

2

sinA+

1

2

cosA-cosA=

3

2

sinA-

1

2

cosA=sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∴A-

π

6

=

π

6

或

5π

6

，即A=

π

3

或A=π（舍去），
∵bc=1，b+c=3，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=9-3=6，
则a=

6

．

点评：此题考查了余弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．