Question

16．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，
（1）画出二面角A-B₁C-C₁ 的平面角
（2）求证：面BB₁DD₁⊥面A₁B₁C₁D₁．

Answer 1

分析 （1）取B₁C的中点O，则∠AOC₁就是二面角A-B₁C-C₁ 的平面角．
（2）推导出BB₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥B₁D₁，从而A₁C₁⊥面BB₁DD₁，由此能证明面BB₁DD₁⊥面A₁B₁C₁D₁．

解答 解：（1）取B₁C的中点O，则∠AOC₁就是二面角A-B₁C-C₁ 的平面角．
理由如下：
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AB₁=AC，B₁C₁=CC₁，
O是B₁C的中点，
∴A₁O⊥B₁C，C₁O⊥B₁C，
∴∠AOC₁是二面角A-B₁C-C₁ 的平面角．
证明：（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，
∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴BB₁⊥A₁C₁，
∵A₁B₁C₁D₁是正方形，∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵BB₁∩B₁D₁=B₁，∴A₁C₁⊥面BB₁DD₁，
∵A₁C₁?面A₁B₁C₁D₁．
∴面BB₁DD₁⊥面A₁B₁C₁D₁．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的作法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．