Question

2．已知函数$f（x）=cosx•cos（x-\frac{π}{3}）$．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用两角差的余弦公式和二倍角公式，化简可得f（x），再由余弦函数的单调区间，解不等式可得所求增区间；
（2）求得f（x）的最值，即可得到a的取值范围．

解答 解：（1）函数$f（x）=cosx•cos（x-\frac{π}{3}）$=cosx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）
=$\frac{1+cos2x}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$，
由2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
即f（x）的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（2）由（1）可得当2x-$\frac{π}{3}$=2kπ，即x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z时，f（x）取得最大值$\frac{3}{4}$；
当2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+π，即x=kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z时，f（x）取得最小值-$\frac{1}{4}$．
由直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，
可得a的范围是a＞$\frac{3}{4}$或a＜-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．