Question

7．函数$f（x）=[{\frac{x+1}{2}}]-[{\frac{x}{2}}]（x∈N）$的值域为{0，1}．（其中[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）

Answer 1

分析 由题设中的定义，可对x分区间讨论，设m表示整数，综合此四类即可得到函数的值域

解答 解：设m表示整数．
①当x=2m时，[$\frac{x+1}{2}$]=[m+0.5]=m，[$\frac{x}{2}$]=[m]=m．
∴此时恒有y=0．
②当x=2m+1时，[$\frac{x+1}{2}$]=[m+1]=m+1，[$\frac{x}{2}$]=[m+0.5]=m．
∴此时恒有y=1．
③当2m＜x＜2m+1时，
2m+1＜x+1＜2m+2
∴m＜$\frac{x}{2}$＜m+0.5
  m+0.5＜$\frac{x+1}{2}$＜m+1
∴[$\frac{x}{2}$]=m，[$\frac{x+1}{2}$]=m
∴此时恒有y=0
④当2m+1＜x＜2m+2时，
  2m+2＜x+1＜2m+3
∴m+0.5＜$\frac{x}{2}$＜m+1
  m+1＜$\frac{x+1}{2}$＜m+1.5
∴此时[$\frac{x}{2}$]=m，[$\frac{x+1}{2}$]=m+1
∴此时恒有y=1．
综上可知，y∈{0，1}．
故答案为{0，1}．

点评 此题是新定义一个函数，根据所给的规则求函数的值域，求解的关键是理解所给的定义，一般从函数的解析式入手，要找出准确的切入点，理解[x]表示数x的整数部分，考察了分析理解，判断推理的能力及分类讨论的思想