Question

11．是否存在常数a，b，c使等式1•（n²-1）+2•（n²-2²）+…+n•（n²-n²）=n²（an²-b）+c对一切n∈N^*都成立？
并证明的结论．

Answer 1

分析 可假设存在常数a，b使等式1•（n²-1）+2•（n²-2²）+…+n•（n²-n²）=n²（an²-b）+c对于任意的n∈N₊总成立，令n=1与n=2，n=3列方程解得a，b，c再用数学归纳法证明．

解答 解：n=1时，a-b+c=0，
n=2时，16a-4b+c=3，
n=3时，81a-9b+c=18
解得 $a=\frac{1}{4}$$b=\frac{1}{4}$c=0，
证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立． 
（2）假设n=k时（k≥1，k∈N^*）等式成立，即$1•（{k^2}-1）+2•（{k^2}-{2^2}）+…+k•（{k^2}-{k^2}）=\frac{1}{4}{k^2}（{k^2}-1）$，
则当n=k+1时1•[（k+1）²-1]+2•[（k+1）²-2²]+…+k•[（k+1）²-k²]+（k+1）[（k+1）²-（k+1）²]，
=1•（k²-1）+2•（k²-2²）+…+k•（k²-k²）+（1+2+…+k）（2k+1），
=$\frac{1}{4}{k^2}（{k^2}-1）+\frac{k（1+k）}{2}（2k+1）$，
=$\frac{1}{4}k（k+1）（{k^2}+3k+2）$
=$\frac{1}{4}k（k+1）（{k^2}+3k+2）$
=$\frac{1}{4}k{（k+1）^2}（k+2）$
所以当n=k+1时等式也成立． 
综上（1）（2）对于k≥1，k∈N^*所有正整数都成立．

点评 本题考查数学归纳法，对于本题“是否存在”型的问题，先假设存在，通过题意求得a、b，c的值，再用数学归纳法予以证明，难点在于n=k+1时，等式成立的证明，要用好归纳假设，属于中档题．