Question

如图,在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,AC＝3,BC＝4,,AA₁＝4,.点D是AB的中点．

(1)求证：AC⊥BC₁；
(2)求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

解答：(1)证明：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
,∴AC⊥BC，                   2分
又 AC⊥，且
∴ AC⊥平面BCC₁，又平面BCC₁                     4分
∴ AC⊥BC₁                                           5分
 
(2)解法一:过作于,则E为BC的中点，过E做EF^B₁C于F,连接DF,
是中点，∴ ，又平面
∴平面，
又平面，平面
∴ , 
∴平面，平面∴
∴是二面角的平面角          9分
AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，
∴在中，，，
∴
∴二面角的正切值为
解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系      6分
AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，
∴， ，，，
∴，
平面的法向量，       8分
设平面的法向量，
则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小
则由  令，则，
∴                                  10分
，则        11分
∵二面角是锐二面角
∴二面角的正切值为         12分

略