Question

已知函数f（x）=

1

|x-1|

，若关于x的方程[f（x）]²+bf（x）+2=0有四个不同的正根，则b的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-2

  2

  ）
• B、（-3，-2

  2

  ）
• C、（-3，2

  2

  ）
• D、（-2

  2

  ，2

  2

  ）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：利用换元法，将方程转化为关于t的一元二次方程，根据根的分布，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：设t=f（x）=

1

|x-1|

，作出函数f（x）的图象如图：
则方程等价为t²+bt+2=0，
若x的方程[f（x）]²+bf（x）+2=0有四个不同的正根，
则等价为t²+bt+2=0存在两个不同的根t₁，t₂，且t₁＞1，t₂＞1，
设g（t）=t²+bt+2，
则满足条件

△=b2-8＞0 g(1)＞0 - b 2 ＞1

，
即

b＞2 2 或b＜-2 2 1+b+2＞0 b＜-2

，
则

b＞2 2 或b＜-2 2 b＞-3 b＜-2

，
解得-3＜b＜-2

2

，
故选：B

点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用换元法以及数形结合，将方程转化为一元二次方程是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．