Question

函数f（x）=

3

2

sin2x+sin²x（x∈R）的图象向左平移

π

6

个单位后得到函数y=g（x）的图象，则以下说法错误的是（　　）

• A、（

  5π

  12

  ，

  1

  2

  ）是函数y=g（x）的图象的一个对称中心
• B、函数y=g（x）的最小正周期是π
• C、函数y=g（x）在[-

  π

  3

  ，

  π

  3

  ]上单调递增
• D、直线x=-

  π

  3

  是函数y=g（x）的图象的一条对称轴

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）的解析式，结合正弦函数的周期性、图象的对称性和单调性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答： 解：把函数f（x）=

3

2

sin2x+sin²x=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

（x∈R）
的图象向左平移

π

6

个单位后，
得到函数y=g（x）=sin[2（x+

π

6

）-

π

6

]+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

的图象，
当x=

5π

12

时，f（x）=

1

2

，是函数的最大值与最小值的平均值，
故（

5π

12

，

1

2

）是函数y=g（x）的图象的一个对称中心，故A正确．
由于函数的最小正周期为

2π

2

=π，故B正确．
在[-

π

3

，

π

3

]上，2x+

π

6

∈[-

π

2

，

5π

6

]，故g（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

在[-

π

3

，

π

3

]上没有单调性，故C错误．
当x=-

π

3

时，g（x）=-1+

1

2

=-

1

2

，是g（x）的最小值，故直线x=-

π

3

是函数y=g（x）的图象的一条对称轴，
故D正确，
故选：C．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、图象的对称性和单调性，属于基础题．