Question

14．已知a，b，c是正实数，且a+b+c=1，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的最小值为9．

Answer 1

分析 由则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=3+（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$），利用基本不等式即可求出

解答 解：a+b+c=1，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=$\frac{a+b+c}{a}$+$\frac{a+b+c}{b}$+$\frac{a+b+c}{c}$，
=1+$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$+1+$\frac{a}{b}$+$\frac{c}{b}$+1+$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$，
=3+（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$），
≥3+2+2+2=9，当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时取等号，
故$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的最小值为9，
故答案为：9

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．