Question

14．若复数z满足|z|=1，则|（$\overline{z}$+i）（z-i）|的最大值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 复数z满足|z|=1，可得$\overline{z}•z$=1．令z=cosθ+isinθ，θ∈[0，2π）．可得（$\overline{z}$+i）（z-i）=1+（z-$\overline{z}$）i+1=2+2isinθ．再利用模的计算公式即可得出．

解答 解：∵复数z满足|z|=1，∴$\overline{z}•z$=1．
令z=cosθ+isinθ，θ∈[0，2π）．
则（$\overline{z}$+i）（z-i）=1+（z-$\overline{z}$）i+1=2+2isinθ．
∴|（$\overline{z}$+i）（z-i）|=$\sqrt{4+4si{n}^{2}θ}$≤2$\sqrt{2}$，当且仅当sinθ=±1时取等号．
∴|（$\overline{z}$+i）（z-i）|的最大值是2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．