Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA=PD，AD=

2

AB=2，且平面PAD⊥平面.4BCD．
（Ⅰ）求证：PC⊥BD；
（Ⅱ）若四棱锥P-ABCD的体积为

4 2

3

，求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间角

分析：（Ⅰ）取O为AD的中点，连接CO，PO，由已知条件推导出Rt△CDO∽Rt△DAB，从而得到BD⊥OC，由此能够证明PC⊥BD．
（Ⅱ）由等体积法坟出PO=2，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取O为AD的中点，连接CO，PO，如下图．
则在矩形ABCD中，∵

CD

AD

=

DO

AB

=

2

2

，∴Rt△CDO∽Rt△DAB，
∴∠OCD=∠BDA，∴∠OCD+∠CDB=90°，
∴BD⊥OC，…（3分）
∵PA=PD，O为AD中点，∴PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD．
∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD．
又OC?平面POC，PO?平面POC，∴BD⊥平面POC，
又PC?平面POC，∴PC⊥BD．…（6分）
（Ⅱ）解：由VP-ABCD=

1

3

S矩形ABCD•PO=

1

3

×2×

2

•PO=

4 2

3

，解得PO=2，…（7分）
建立如图所示空间直角坐标系，则有
A(1，0，0)，P(0，0，2)，C(-1，

2

，0)，D(-1，0，0)，
∴

AP

=(-1，0，2)，

AC

=(-2，

2

，0)，

DP

=(1，0，2)，

DC

=(0，

2

，0)．…（8分）
设平面PAC的一个法向量为

n1

n₁=（x₁，y₁，z₁），
则有

n1 • AP =0 n1 • AC =0

，即

-x1+2z1=0 -2x1+ 2 y1=0

，令z₁=1，得

n1

=(2，2

2

，1)，
同理，设平面PAD的一个法向量为

n2

=（x₂，y₂，z₂），
则有

n2 • DP =0 n2 • DC =0

，即

x2+2z2=0 2 y2=0

，令x₂=2，得

n2

=（2，0，-1），
cos?n1，n2＞=

n1•n2

|n1|•|n2|

=

4-1

13 × 5

=

3 65

65

，…（10分）
由图可知二面角A-PC-D为锐二面角，
故二面角A-PC-D的余弦值为

3 65

65

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．