Question

由于空气污染严重，某工厂生产了两种供人们外出时便于携带的呼吸装置，其质量按测试指标划分：指标大于等于88为优质产品．现随机抽取这两种装至各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标分组		[70，76）	[76，82）	[82，88）	[88，94）	[94，100]
频 数	装置甲	8	12	40	32	8
	装置乙	7	18	40	29	6

（Ⅰ）试分别估计装置甲、装置乙为优质品的概率；
（Ⅱ）设该厂生产一件产品的利润率y与其质量指标t的关系式为y=

-2，t＜76 2，76≤t＜88 4，t≥88

，根据以上统计数据，估计生产一件装置乙的利润率大于0的概率，若投资100万生产装置乙，请估计该厂获得的平均利润；
（Ⅲ）若投资100万，生产装置甲或装置乙中的一种，请分析生产那种装置获得利润的数学期望较大．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：综合题,概率与统计

分析：（I）根据频数，求比值，得到估计装置甲、装置乙为优质品的概率；
（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，可得数据的期望值；
（Ⅲ）比较生产装置甲或装置乙的期望值，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）装置甲为优质品的概率

32+8

100

=0.4、装置乙为优质品的概率

29+6

100

=0.35；
（Ⅱ）设乙的利润率为ξ，则ξ的可能取值为-2，2，4，
P（ξ=-2）=0.07，P（ξ=2）=0.58，P（ξ=4）=0.35，
∴生产一件装置乙的利润率大于0的概率为P（ξ＞0）=P（ξ=2）+P（ξ=4）=0.58+0.35=0.93，
Eξ=-2×0.07+2×0.58+4×0.35=2.42，
∴投资100万生产装置乙，估计该厂获得的平均利润为242万；
（Ⅲ）设甲的利润率为η，则η的可能取值为-2，2，4，
P（η=-2）=0.08，P（ξ=2）=0.52，P（ξ=4）=0.4，
∴Eη=-2×0.08+2×0.52+4×0.4=2.48，
∵Eη＞Eξ，
∴生产甲种装置获得利润的数学期望较大．

点评：本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题．