Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）-2sin²x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=

3

sin（2x+

π

3

），于是可求得函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，利用正弦函数的单调性与最值可求得函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

+cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+cos2x
=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x
=

3

（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）
=

3

sin（2x+

π

3

）
∴f（x）的最小正周期为π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

3

sin（2x+

π

3

），
∴当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
当2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

时，函数f（x）取最大值

3

，当2x+

π

3

=

4π

3

，即x=

π

2

时，函数f（x）取最小值-

3

2

，
∴函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值为

3

，最小值为-

3

2

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的周期性、单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．