Question

若函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+m在区间[0，

π

2

]上的最大值为2．
（1）求函数f（x）的单调递增区间．
（2）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（

A

2

）=1，a=

6

2

c，求sinB．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦函数的单调性

专题：解三角形

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+m+1，解2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得单调递增区间为；
（2）由已知易得f（x）=2sin（2x+

π

6

），进而可得A=

2π

3

，C=

π

4

，可得sinB=sin（A+C）=sin（

2π

3

+

π

4

），由两角和的正弦公式可得．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+m
=1+cos2x+

3

sin2x+m=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
∵f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值为2，∴m=-1
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），又∵f（

A

2

）=1，
∴2sin（A+

π

6

）=1，∴A=

2π

3

，
∵a=

6

2

c，∴sinA=

6

2

sinC，
∴sinC=

π

2

，∴C=

π

4

∴sinB=sin（A+C）=sin（

2π

3

+

π

4

）
=

3

2

×

2

2

-

1

2

×

2

2

=

6 - 2

4

点评：本题考查三角函数的最值，涉及正余弦定理和三角函数的单调性，属中档题．