Question

1．已知集合P={x|x²-2x-3≤0}，S={x||x-1|≤m}且S不为空集．
（1）若（P∪S）⊆P，求实数m的取值范围．
（2）是否存在实数m，使得“m∈P”是“m∈S”的充要条件，若存在求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由S不为空集得m≥0，（P∪S）⊆P得S⊆P．分别化简S，P即可得出．
（2）由题意可知：P=S．即可得出．

解答 解：（1）由S不为空集得m≥0，（P∪S）⊆P得S⊆P．
S={x||x-1|≤m}={x|1-m≤x≤1+m}，P={x|x²-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}…4’
∴$\left\{\begin{array}{l}-1≤1-m\\ 1+m≤3\end{array}\right.⇒m≤2$，∴{m|0≤m≤2}…6’
（2）由题意可知：P=S．
由（1）可得$\left\{\begin{array}{l}-1=1-m\\ 1+m=3\end{array}\right.⇒m=2$…10’
∴存在，当m=2时，满足条件…12’

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．