Question

已知数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+1（n≥2）且a₁=1，b_n=log₂（a_2n+1+1），c_n=

1

b 2 n

-1
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前n项和s_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）把已知的数列递推式a_n=2a_n-1+1变形，得到a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），由此得到数列{a_n+1}为等比数列，求其通项公式后可得数列数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入b_n=log₂（a_2n+1+1），进一步代入c_n=

1

b 2 n

-1，然后由裂项相消法求和．

解答： （Ⅰ）证明：由a_n=2a_n-1+1（n≥2），知a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
又a₁+1=2≠0，
∴{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
故an+1=2•2n-1=2n，
∴an=2n-1；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知b_n=log₂（a_2n+1+1）=2n+1，
c_n=

1

b 2 n

-1=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Sn=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比数列的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．