Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，

an-an+1

an+1

=n，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

2n

an

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．
（3）证明：a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）把给出的递推式变形，得到

an+1

an

=

n

n+1

，然后利用累积法求数列的通项公式；
（2）把（1）中求出的通项公式代入b_n=

2n

an

，整理后利用错位相减法求数列的前n项和；
（3）把

1

an2

放大后利用裂项相消法求和，则不等式得证．

解答： （1）解：由

an-an+1

an+1

=n，得（n+1）a_n+1=na_n，即

an+1

an

=

n

n+1

，
∴

a2

a1

•

a3

a2

•

a4

a3

…

an-1

an-2

•

an

an-1

=

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

n-2

n-1

×

n-1

n

，
即an=

1

n

a1，
∵a₁=1，
an=

1

n

；
（2）解：∵an=

1

n

，
∴bn=

2n

an

=n•2n，
∴Tn=1×2+2×22+3×22+…+n•2n  ①
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)•2n+n•2n+1   ②
①-②得-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2；
（3）证明：∵

1

k2

＜

1

k(k-1)

=

1

k-1

-

1

k

，k=2，3，4…，n．
∴a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

+…+a

2 n

=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1

+

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

(n-1)•n

=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)  
=2-

1

n

＜2．

点评：本题考查了数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的前n项和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．