题目内容

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c满足：cosAcosC+sinAsinC+cosB=
3
2
，且a，b，c成等比数列，
（1）求角B的大小；
（2）若
a
tanA
+
c
tanC
=
2b
tanB
，a=2，求三角形ABC的面积．
考点：正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：（1）化简条件可得2sinAsinC=
3
2
，再由b2=ac求得2sin2B=
3
2
．再根据b不是最大边，可得B为锐角，从而求得B的值．
（2）由条件可得
acosA
sinA
+
ccosC
sinC
=
2bcosB
sinB
，cosA+cosC=2cosB=1，求得 A=C=
π
3
，结合a=2求得三角形的面积
解答： 解：（1）∵cosAcosC+sinAsinC+cosB=
3
2
，∴2sinAsinC=
3
2
．
又∵b2=ac⇒sin2B=sinAsinC，∴2sin2B=
3
2
．
而a，b，c成等比数列，所以b不是最大，故B为锐角，所以B=60°．
（2）由
a
tanA
+
c
tanC
=
2b
tanB
，可得
acosA
sinA
+
ccosC
sinC
=
2bcosB
sinB
，
所以cosA+cosC=2cosB=1，又因为A+C=
2π
3
，∴A=C=
π
3
，
所以三角形ABC是等边三角形，由a=2所以面积为
3
．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}、{bn}满足a1=2，an-1=an（an+1-1），bn=an-1，数列{bn}的前n项和为Sn，n∈N*．
（1）证明数列{
1
bn
}为等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，有1+
n
2
≤S2n≤
1
2
+n成立．
已知数列{an}满足a1=1，
an-an+1
an+1
=n，n∈N*
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
2n
an
，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．
（3）证明：a12+a22+a32+…+an2＜2．
某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本．经统计，得到下列关于产品重量的样本频数分布表：
甲流水线
产品重量（单位：克）		 频数
（490，495] 2
（495，500] 12
（500，505] 18
（505，510] 6
（510，515] 2
乙流水线
产品重量（单位：克）		 频数
（490，495] 6
（495，500] 8
（500，505] 14
（505，510] 8
（510，515] 4
已知产品的重量合格标准为：重量值（单位：克）落在（495，510]内的产品为合格品；否则为不合格品．
（Ⅰ）从甲流水线样本的合格品中任意取2件，求重量值落在（505，510]的产品件数X的分布列；
（Ⅱ）从乙流水线中任取2件产品，试根据样本估计总体的思想，求其中合格品的件数Y的数学期望；
（Ⅲ）从甲、乙流水线中各取2件产品，用ξ表示“甲流水线合格品数与乙流水线合格品数的差的绝对值”，并用A表示事件“关于x的一元二次方程2x2+2ξx+ξ=0没有实数解”． 试根据样本估计总体的思想，求事件A的概率．
已知函数f（x）=-
1
3
x3+
a
2
x2-2x，g（x）=
1
3
x3-
a
2
x2+（a+2）x+
a+1
x
-lnx，（a∈R）
（Ⅰ）当a=3时，x∈[
3
2
，2]，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）当a≥-1时，讨论函数F（x）=f（x）+g（x）的单调性；
（Ⅲ）若过点（0，-
1
3
）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．
四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC=45°，AB=2，BC=2
2
，PA=PB=PC=
3
，点O是BC中点，点M是PD的中点．

（Ⅰ）求证：PB∥平面AMC；
（Ⅱ）证明：PO⊥平面ABCD．
∫
4
0
16-x2
dx=
 
．
执行如图的流程图，输出的S=
 
．
某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有
 
种．

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