Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且经过点（1，

3

2

）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）O为坐标原点，直线y=kx+m与椭圆E相交于不同的两点A、B，若椭圆E上存在点C，使得O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线AB方程为：y=kx=m，由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用韦达定理、三角形重心坐标公式结合已知条件能证明△ABC的面积为定值

9

2

．

解答： 解：（1）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，
且经过点（1，

3

2

），
∴

c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，
解得a=2，b=

3

，c=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…..5 分
（2）设直线AB方程为：y=kx=m，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴

x1+x2= -8km 3+4k2 y1+y2= 6m 3+4k2

，
∵O为重心，

OC

=-（

OA

+

OB

）=（

8km

3+4k2

，

-6m

3+4k2

），…..8分
∵C点在椭圆E上，∴

( 8km 3+4k2 )2

4

+

( -6m 3+4k2 )2

3

=1，
解得4m²=4k²+3，…..10分
∵|AB|=

1+k2

•

( -8km 3+4k2 )2-4( 4m2-12 3+4k2 )

=

4 1+k2

3+4k2

•

12k2+9-3m2

，…12分
∴S△ABC=

1

2

|AB|d=

6|m|

3+4k2

12k2+9-3m2

=

9

2

．…14分
直线AB斜率不存在时，|AB|=2，d=3，S△ABC=

9

2

．
△ABC的面积为定值

9

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．