Question

设函数f（x）=

x2+2ax+b2

（Ⅰ）a从集合{1，2，3，4}中任取一个数，b从集合{1，2，3}中任取一个数，求使函数的定义域为全体实数的概率；
（Ⅱ）a从区间[0，4]任取一个数，b从区间[0，3]任取一个数，求使函数有零点的概率．

Answer 1

考点：几何概型,列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：概率与统计

分析：（1）由题意可得，D=R 即△=4a²-4b²＜0，即|a|＜|b|，由此求得满足此条件的（a，b）共有12个．而所有的（a，b）共有6个，由此求得D=R的概率．
（2）由题意可得，△=4a²-4b²＜0，根据a、b的范围，只要|a|＜|b|即可．所有的（a，b）构成矩形区域OABC，再画出|b|＞|a|的区域，它们相交的部分（即图中阴影部分），再用阴影部分的面积除以矩形OABC的面积，即得所求．

解答： 解：（1）∵a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，∴（a，b）的所有可能为：
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3）共计12种． …（2分）
而D=R，有4a²-4b²≤0，即|a|≤|b|…（4分）
那么满足D=R的（a，b）的所有可能为：
（1，1），（1，2），（1，3），（（2，2），（2，3），（3，3）共计6种，
∴其概率P=

6

12

=

1

2

…（6分）
（2）∵a∈[0，4]，b∈[0，3]∴所有的点（a，b）构成的区域的面积=12
而有4a²-4b²≥0，即|a|≥|b|…（8分）
满足|a|≥|b|的点（a，b）构成的区域的面积为7.5   …（11分）
故所求概率P=

5

8

…（12分）

点评：本题考查了几何概型的应用；关键要明确所求事件概率与全部事件的关系，利用区域的长度、面积或者体积之比表示概率．