Question

设a＞0，两个函数f（x）=e^ax，g（x）=blnx的图象关于直线y=x对称．
（1）求实数a，b满足的关系式；
（2）当a取何值时，函数h（x）=f（x）-g（x）有且只有一个零点；
（3）当a=1时，在（

1

2

，+∞）上解不等式f（1-x）+g（x）＜x²．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）设P（x，e^ax）是函数f（x）=e^ax图象上任一点，则它关于直线y=x对称的点P′（e^ax，x）在函数g（x）=blnx的图象上，代入解析式即可求得关系式；
（2）由函数h（x）=f（x）-g（x）有且只有一个零点，知两个函数的图象有且只有一个交点，由两函数的对称性知两个函数图象的交点就是函数f（x）=e^ax的图象与直线y=x的切点．设切点为
A（x0，eax0），易知x0=eax0，且f′（x₀）=1，由此可求得ax₀=1，x0=eax0=e，进而得到a；
（3）当a=1时，设r（x）=f（1-x）+g（x）-x²=e^1-x+lnx-x²，利用导数可判断r（x）的单调性，结合r（1）=0可解得不等式；

解答： 解：（1）设P（x，e^ax）是函数f（x）=e^ax图象上任一点，则它关于直线y=x对称的点P′（e^ax，x）在函数g（x）=blnx的图象上，
∴x=blne^ax=abx，
∴ab=1．
（2）当a＞0时，函数h（x）=f（x）-g（x）有且只有一个零点，则两个函数的图象有且只有一个交点，
∵两个函数关于直线y=x对称，
∴两个函数图象的交点就是函数f（x）=e^ax的图象与直线y=x的切点．
设切点为A（x0，eax0），x0=eax0，
f′（x）=ae^ax，∴aeax0=1，
∴ax₀=1，x0=eax0=e，
∴当a=

1

x0

=

1

e

时，函数h（x）=f（x）-g（x）有且只有一个零点x=e；
（3）当a=1时，设r（x）=f（1-x）+g（x）-x²=e^1-x+lnx-x²，则
r′（x）=-e^1-x+

1

x

-2x，
当x∈(

1

2

，1)时，

1

x

-2x＜2-1=1，-e^1-x＜-1，r′＜0；
当x∈[1，+∞）时，

1

x

-2x≤1-2=-1，-e^1-x＜0，r′＜0．
∴r（x）在（

1

2

，+∞）上是减函数．
又r（1）=0，
∴不等式f（1-x）+g（x）＜x²解集是（1，+∞）．

点评：本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点、不等式，考查学生综合运用知识解决问题的能力．