Question

已知圆C方程为（x-3）²+y²=12，定点A（-3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．
（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．
（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由题意可得点Q满足双曲线的定义，且求得a，c的值，再由b²=c²-a²求得b，则点Q的轨迹E的方程可求；
（Ⅱ）由题意得到直线AB的方程，和双曲线方程联立后利用弦长公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由点Q是线段AP垂直平分线上的点，
∴|AQ|=|PQ|，
又∵|QA|-|QC|=|PC|=2

3

＜|AC|=6，
满足双曲线的定义．
设E的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
则a=

3

，c=3，
b=

c2-a2

=

6

，
则轨迹E方程为

x2

3

-

y2

6

=1；
（Ⅱ）直线AB的倾斜角为30°，且直线过C（3，0），
∴y=

3

3

(x-3)直线AB的方程为y=

3

3

(x-3)，
由

y= 3 3 (x-3) x2 3 - y2 6 =1

，消去y得5x²+6x-27=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴有x1+x2=-

6

5

，x1x2=-

27

5

．
则|AB|=

1+( 3 3 )2

•

(- 6 5 )2-4×(- 27 5 )

=

16

5

3

．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常用根与系数的关系解决，是压轴题．