Question

设函数f（x）=x²-（a-2）x-alnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），并对a分类讨论即可；
（2）由（1）的结论，结合根的存在性原理，可以判断存在a₀∈（2，3），h（a₀）=0，当a＞a₀，h（a）＞0；

解答： 解：（1）由已知可得f′（x）=2x-（a-2）-

a

x

=

2x2-(a-2)x-a

x

=

(2x-a)(x+1)

x

，（x＞0），
①当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
②当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞

a

2

；由f'（x）＜0，得0＜x＜

a

2

，
∴函数的单调增区间为（

a

2

，+∞），单调减区间为（0，

a

2

）．
（2）由（1）得若函数有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值为f（

a

2

）＜0，
即-a²+4a-4aln

a

2

＜0，
∵a＞0，∴a+4ln

a

2

-4＞0，
令h（a）=a+4ln

a

2

-4，显然h（a）在（0，+∞）上是增函数，
且h（2）=-2＜0，h（3）=4ln

3

2

-1=ln

81

16

-1＞0，
∴存在a₀∈（2，3），h（a₀）=0，当a＞a₀，h（a）＞0；
当0＜a＜a₀时，h（a）＜0．
∴满足条件的最小整数a=3，
当a=3时，f（3）=3（2-ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3时f（x）有两个零点．
综上，满足条件的最小值a的值为3．

点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间以及根的存在性原理的运用．