Question

9．已知函数f（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x）cosx-sinxcos（3π-x）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，已知A为锐角，f（A）=1，BC=2，B=$\frac{π}{6}$，求AC边的长．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式、二倍角公式及辅助角公式求得f（x）的解析式，根据周期公式求得函数f（x）的最小正周期；
（2）f（A）=1，即sinAcosA=1-cos²A=sin²A，求得A=$\frac{π}{4}$，由正弦定理即可求得AC边的长．

解答 解：（1）由题设知f（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x）cosx-sinxcos（3π-x）
=cos²x-sinxcosx
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$
由T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，
函数f（x）的最小正周期π；  …（6分）
（2）∵f（A）=cos²A-sinAcosA=1，
∴sinAcosA=1-cos²A=sin²A，
∵A为锐角，sinA≠0，
∴sinA=cosA，
∴A=$\frac{π}{4}$，…（9分）
由正弦定理可知：$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sinA}$，即 $\frac{AC}{{sin\frac{π}{6}}}=\frac{2}{{sin\frac{π}{4}}}$，
解得：AC=$\sqrt{2}$，
∴AC边的长$\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题考查诱导公式、二倍角公式、同角三角函数间的基本关系综合应用及特殊角的三角函数值化简求值，会利用正弦定理解决实际问题，属于中档题．