Question

20．在极坐标系中，圆A与圆C：ρ=2cosθ+4sinθ关于直线θ=$\frac{3π}{4}$对称．
（1）求圆A的极坐标方程；
（2）为圆A上任意一点，求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OC}$（其中O为极点）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）圆C：ρ=2cosθ+4sinθ，即ρ²=2ρcosθ+4ρsinθ，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ代入可得直角坐标方程．直线l：θ=$\frac{3π}{4}$，即y=-x，则（1，2）关于直线l的对称点为（-2，-1）．即可得出圆A的方程，展开把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ代入可得极坐标方程．
（2）设$P（{-2+\sqrt{5}cosθ，-1+\sqrt{5}sinθ}）$，利用数量积运算性质可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OC}$=-4+5$cos（θ-\frac{π}{4}）$，再利用三角函数的单调性值域即可得出．

解答 解：（1）圆C：ρ=2cosθ+4sinθ，即ρ²=2ρcosθ+4ρsinθ，
可得直角坐标方程：圆C：x²+y²=2x+4y，即（x-1）²+（y-2）²=5，
直线l：θ=$\frac{3π}{4}$，即y=-x，
则（1，2）关于直线l的对称点为（-2，-1）．
∴圆A：（x+2）²+（y+1）²=5，展开把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ代入可得极坐标方程ρ+4cosθ+2sinθ=0．
（2）设$P（{-2+\sqrt{5}cosθ，-1+\sqrt{5}sinθ}）$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OC}$=$-2+\sqrt{5}cosθ$+2$（-1+\sqrt{sinθ}）$=-4+5$cos（θ-\frac{π}{4}）$∈[-9，1]．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、圆的方程、三角函数求值、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．