Question

19．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位建立坐标系，已知直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=3，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）P（1，1），设直线l与曲线C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α为参数），利用cos²α+sin²α=1可得普通方程．把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=3，可得直角坐标方程．
（II）由于P（1，1）在直线l上，可得直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{\sqrt{5}}t}\\{y=1+\frac{2}{\sqrt{5}}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入椭圆方程可得：$5{t}^{2}-\frac{2}{\sqrt{5}}t$-23=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（I）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α为参数），利用cos²α+sin²α=1可得普通方程：$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
由直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=3，可得直角坐标方程：2x+y-3=0．
（II）由于P（1，1）在直线l上，可得直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{\sqrt{5}}t}\\{y=1+\frac{2}{\sqrt{5}}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入椭圆方程可得：$5{t}^{2}-\frac{2}{\sqrt{5}}t$-23=0，
∴t₁t₂=-$\frac{23}{5}$，∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{23}{5}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程与直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．