已知数列{an}满足:an=log(n+1)(n+2)定义使a1•a2•-•ak为整数的数k(k∈N*)叫做希望数.则区间[1.2012]内所有希望数的和M=( )A．2026B．2036C．2046D．2048 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

14．已知数列{a_n}满足：a_n=log_（n+1）（n+2）定义使a₁•a₂•…•a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做希望数，则区间[1，2012]内所有希望数的和M=（　　）

A．

2026

B．

2036

C．

2046

D．

2048

分析利用a_n=log_n+1（n+2），化简a₁•a₂•a₃…a_k，得k=2^m-2，给m依次取值，可得区间[1，2012]内所有希望数，然后求和．

解答解：a_n=log_n+1（n+2），
∴由a₁•a₂•a₃…a_k为整数得，log₂3•log₃4…log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2）为整数，
设log₂（k+2）=m，则k+2=2^m，
∴k=2^m-2；
因为2¹¹=2048＞2012，
∴区间[1，2012]内所有希望数为2²-2，2³-2，2⁴-2，2¹⁰-2，
其和M=2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=2026．
故选：A

点评本题考查对数函数的运算性质，数列求和，求出区间[1，2012]内所有希望数为2²-2，2³-2，2⁴-2，2¹⁰-2，是解题的关键

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