Question

17．在直角坐标系xOy中，已知直线l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ²（1+sin²θ）=2．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}$（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ²（1+sin²θ）=2，可得ρ²+（ρsinθ）²=2，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．
（Ⅱ）把$l：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入椭圆方程中，整理得$3{t^2}+10\sqrt{2}t+14=0$，设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t₁t₂|．

解答 解：（Ⅰ）直线l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}$（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x-y+1=0．
曲线C：ρ²（1+sin²θ）=2，可得ρ²+（ρsinθ）²=2，
可得直角坐标方程：x²+y²+y²=2，
即$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）把$l：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$中，
整理得$3{t^2}+10\sqrt{2}t+14=0$，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，
∴${t_{\;1}}•{t_{\;2}}=\frac{14}{3}$，
由t得几何意义可知，$|MA||MB|=|{t_{\;1}}•{t_{\;2}}|=\frac{14}{3}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、直线方参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．