题目内容
20．设复数ω=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，则z=1+ω+ω2+…+ω2012的值为0．分析 由ω=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，ω3=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）（-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）=1，ω2013=1由等比数列的前n项和公式可得z=1+ω+ω2+…+ω2012=$\frac{1-{ω}^{2013}}{1-ω}$计算可得答案
解答 解：∵ω=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
∴ω2=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）2=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
∴ω3=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）（-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）=1，
∴ω2013=（ω3）671=1，
∴z=1+ω+ω2+…+ω2012=$\frac{1-{ω}^{2013}}{1-ω}$=0，
故答案为：O．
点评 本题为复数的运算和等比数列的前n项和公式的应用，化简复数的代数形式和等比数列的前n项和的应用是解决问题的关键，属中档题．
练习册系列答案
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