Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=2n-1，数列{b_n}满足2$\sum_{i=1}^{n}i•{b}_{i}$-2n=S_n，若b_n≥λ对任意的n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围为（-∞，1]．．

Answer 1

分析 先求出数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，继而求出S_n=n²，再根据2$\sum_{i=1}^{n}i•{b}_{i}$-2n=S_n，求出b_n=1+$\frac{1}{2n}$，根据数列的函数特征，即可求出参数的取值范围．

解答 解：∵a_n=2n-1，
∴a_n-1=2（n-1）-1，
∴a_n-a_n-1=2，
∵a₁=2×1-1=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∵数列{b_n}满足2$\sum_{i=1}^{n}i•{b}_{i}$-2n=S_n，
∴2（1•b₁+2×b₂+…+nb_n）-2n=n²，
即1•b₁+2×b₂+…+nb_n=$\frac{1}{2}$n²+n，
∴1•b₁+2×b₂+…+（n-1）b_n-1=$\frac{1}{2}$（n-1）²+n-1，
∴nb_n=$\frac{1}{2}$n²+n-$\frac{1}{2}$（n-1）²-（n-1）=n+$\frac{1}{2}$，
∴b_n=1+$\frac{1}{2n}$
∵b_n≥λ对任意的n∈N^*恒成立，
∴1+$\frac{1}{2n}$≥λ，
∵1＜1+$\frac{1}{2n}$≤$\frac{3}{2}$
∴λ≤1，
故答案为：（-∞，1]．

点评 本题考查数列递推式，考查等差数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题