Question

2．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）经过点（4，-4）．
（1）若抛物线C上一动点M到准线的距离为d，D（-1，3），求d+|MD|的最小值；
（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点为N（2，$\frac{1}{3}$），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）将点（4，-4）代入抛物线y²=2px（p＞0）可得p值，利用抛物线的定义，求d+|MD|的最小值；
（2）根据线段AB的中点为N（2，$\frac{1}{3}$），利用点差法，求出直线斜率，可得直线l的方程．

解答 解：（1）抛物线C：y²=2px（p＞0）经过点（4，-4），可得p=2，
抛物线的准线方程为x=-1，
d+|MD|=|MF|+|MD|≥|DF|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴d+|MD|的最小值为$\sqrt{13}$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入抛物线方程，两式相减得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴直线l的斜率k=$\frac{4}{2×\frac{1}{3}}$=6，
故直线l的方程为y-$\frac{1}{3}$=6（x-2），
即18x-3y-35=0．

点评 本题考查的知识点是直线与抛物线的位置关系，抛物线的标准方程，难度中档．