Question

19．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是△A₁C₁D内的动点（不包括边界），记直线D₁P与MN所成角为θ，若θ的最小值为$\frac{π}{3}$，则点P的轨迹是（　　）

• A． 圆的一部分
• B． 椭圆的一部分
• C． 抛物线的一部分
• D． 双曲线的一部分

Answer 1

分析 把MN平移到面A₁B₁C₁D₁中，直线D₁P与MN所成角为θ，直线D₁P与MN所成角的最小值，是直线D₁P与面A₁B₁C₁D₁所成角，即原问题转化为：直线D₁P与面A₁B₁C₁D₁所成角为$\frac{π}{3}$，求点P的轨迹．点P在面A₁B₁C₁D₁的投影为圆的一部分，则点P的轨迹是椭圆的一部分．

解答 解：把MN平移到面A₁B₁C₁D₁中，直线D₁P与MN所成角为θ，
直线D₁P与MN所成角的最小值，是直线D₁P与面A₁B₁C₁D₁所成角，
即原问题转化为：直线D₁P与面A₁B₁C₁D₁所成角为$\frac{π}{3}$，
点P在面A₁B₁C₁D₁的投影为圆的一部分，
∵点P是△A₁C₁D内的动点（不包括边界）
∴则点P的轨迹是椭圆的一部分．
故选：B．

点评 本题考查了空间轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．