Question

4．在极坐标系中，P是曲线C₁：ρ=12sinθ上的动点，Q是曲线C₂：ρ=12cos（θ-$\frac{π}{6}$）上的动点，
（1）求曲线C₁，C₂的平面直角坐标方程并说明表示什么曲线；
（2）试求PQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）把已知等式两边同时乘ρ，结合公式ρ²=x²+y²，y=ρsinθ求得C₁的直角坐标方程；展开两角差的余弦，把已知等式两边同时乘ρ，结合公式ρ²=x²+y²，x=ρcosx，y=ρsinθ求得C₂的直角坐标方程；
（2）画出图形，数形结合得答案．

解答 解：（1）以极点O为原点，极轴为x轴建立直角坐标系xOy．
由ρ=12sinθ，得ρ²=12ρsinθ，得x²+y²=12y，即x²+（y-6）²=36，
∴C₁表示圆心为（0，6），半径为6的圆．
由ρ=12cos（θ-$\frac{π}{6}$），得$ρ=12（\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ+\frac{1}{2}sinθ）$
=$6\sqrt{3}cosθ+6sinθ$，
∴${ρ}^{2}=6\sqrt{3}ρcosθ+6ρsinθ$，即${x}^{2}+{y}^{2}-6\sqrt{3}x-6y=0$，
则（x-3$\sqrt{3}$）²+（y-3）²=36，
∴C₂表示以（3$\sqrt{3}$，3）为圆心，6为半径的圆．
（2）由圆的位置关系可知，当P、Q所在直线为连心线所在直线时，PQ长度可取最大值，且最大值为$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$+6+6=18．

点评 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查两圆的位置关系，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．