Question

3．函数$f（x）=（{x-1}）{e^x}-k{x^2}（{k∈（{\frac{1}{2}，1}]}）$，则f（x）在[0，k]的最大值h（k）=（　　）

• A． 2ln2-2-（ln2）³
• B． -1
• C． 2ln2-2-（ln2）²k
• D． （k-1）e^k-k³

Answer 1

分析 求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性然后求解函数的最大值即可．

解答 解：f′（x）=xe^x-2kx=x（e^x-2k），
令f′（x）=0得x=0或x=ln2k，
令g（k）=k-ln2k，则g′（k）=1-$\frac{1}{k}$＜0
∴g（k）在（$\frac{1}{2}$，1]上是减函数，∴g（k）≥g（1）=1-ln2＞0，
∴k＞ln2k，
∴f（x）在[0，ln2k]上单调递减，在（ln2k，k]上单调递增，
∴f（x）的最大值为f（0）或f（k）．
f（k）-f（0）=（k-1）e^k-k³+1=（k-1）（e^k-k²-k-1），
令h（x）=e^k-k²-k-1，则h′（k）=e^k-2k-1，h′′（k）=e^k-2，
令h″（k）=0得k=ln2，
∴h′（k）在（$\frac{1}{2}$，ln2）上单调递减，在（ln2，1]上单调递增，
∵h′（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-2＜0，h′（1）=e-3＜0，
∴h′（k）＜0在（$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，
∴h（k）在（$\frac{1}{2}$，1]上是减函数，∴h（k）＜h（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-$\frac{7}{4}$＜0，
∴f（k）≥f（0），
∴f（x）的最大值为f（k）=（k-1）e^k-k³，
故选D．

点评 本题考查了函数的单调性判断，导数与函数单调性的关系，属于中档题．