题目内容

16.如图,在三棱锥D-ABC中,$AC=BC=1,CD=AB=\sqrt{2},AD=BD=\sqrt{3}$,若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上,则该球的体积为(  )
A.$\frac{32π}{3}$B.C.D.$\frac{4π}{3}$

分析 利用已知条件说明三棱锥是长方体的一个角,扩展几何体为长方体,求出外接球的半径,然后求解球的体积.

解答 解:在三棱锥D-ABC中,$AC=BC=1,CD=AB=\sqrt{2},AD=BD=\sqrt{3}$,
可得AC⊥BC,AC⊥CD,CD⊥CB,则C-ABD三棱锥看作是长方体的一个角,三棱锥的外接球计算长方体的外接球,
外接球的半径为:$\frac{1}{2}\sqrt{1+2+1}$=1.
外接球的体积为:$\frac{4π}{3}×{1}^{3}$=$\frac{4π}{3}$.
故选:D.

点评 本题考查三棱锥的外接球的体积的求法,考查空间想象能力以及最后思想计算能力.

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