Question

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，且Sn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，S₂=

2

3

，S₃=

3

4

．设[x]表示不大于x的最大整数（如[2.10]=2，[0.9]=0）．
（1）试求数列{a_n}的通项；
（2）求T=[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂（2 an-1）]+[log2（2 an）]关于n的表达式．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用裂项法求和，结合S₂=

2

3

，S₃=

3

4

，即可求数列{a_n}的通项；
（2）先化简，再利用错位相减法，即可得出结论．

解答： 解：（1）S_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

d

（

1

a1

-

1

an+1

），
∵S₂=

2

3

，S₃=

3

4

，
∴

1

d

（

1

a1

-

1

a3

）=

2

3

，

1

d

（

1

a1

-

1

a4

）=

3

4

，
∴a₁=1，d=1，
∴a_n=n；
（2）T=[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂（2 an-1）]+[log₂（2 an）]
=[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂（2ⁿ-1）]+[log₂（2ⁿ）]
∵[log₂1]=0，
[log₂2]=[log₂3]=1，
…
[log₂2^m]=[log₂（^m+1）]=…=[log₂（^m+1-1）]=m．
∴[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂（2ⁿ-1）]+[log₂（2ⁿ）]=0+1×2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n，
由S=1×2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1，
则2S=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ，
∴-S=1×2+1×2²+…+2^n-1-（n-1）•2ⁿ=

2(1-2n-1)

1-2

-（n-1）•2ⁿ，
∴S=（2-n）•2ⁿ-2
∴T=（2-n）•2ⁿ-2+n．

点评：本题考查数列的应用，考查错位相减法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．