题目内容

已知函数f（x）=
-
1
2
x+
1
4
，x∈[0，
1
2
]
2x2
x+2
，x∈(
1
2
，1]
g（x）=asin（
π
3
x+
3π
2
）-2a+2（a＞0），给出下列结论：
结论：
①函数f（x）的值域为[0，
2
3
]；
②函数g（x）在[0，1]上是增函数；
③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解；
④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是[
4
9
，
4
5
]．
其中所有正确结论的序号是
 
．
考点：分段函数的应用
专题：阅读型,函数的性质及应用
分析：求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判断①；化简g（x），判断g（x）的单调性即可判断②；
求出g（x）在[0，1]的值域，求出方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解的a的范围，即可判断③；
由③得，有解的条件为：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范围，即可判断④．
解答： 解：当x∈[0，
1
2
]时，f（x）=
1
4
-
1
2
x是递减函数，则f（x）∈[0，
1
4
]，
当x∈（
1
2
，1]时，f（x）=
2x2
x+2
=2（x+2）+
8
x+2
-8，f′（x）=2-
8
(x+2)2
＞0，则f（x）在（
1
2
，1]上递增，
则f（x）∈（
1
5
，
2
3
]．
则x∈[0，1]时，f（x）∈[0，
2
3
]，故①正确；
当x∈[0，1]时，g（x）=asin（
π
3
x+
3π
2
）-2a+2（a＞0）=-acos
π
3
x-2a+2，
由a＞0，0≤
π
3
x≤
π
3
，则g（x）在[0，1]上是递增函数，故②正确；
由②知，a＞0，x∈[0，1]时g（x）∈[2-3a，2-
5a
2
]，
若2-3a＞
2
3
或2-
5a
2
＜0，即0＜a＜
4
9
或a＞
4
5
，方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解，故③错；
故存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则
2-3a≤
2
3
2-
5a
2
≥0
解得
4
9
≤a≤
4
5
．
故④正确．
故答案为：①②④．
点评：本题考查分段函数的运用，考查函数的值域和单调性及运用，考查存在性命题成立的条件，转化为最值之间的关系，属于易错题和中档题．
练习册系列答案
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设函数f（x）=
2x2+x-2+sinx
x2-1
的最大值为M，最小值为m，则M+m=
 
．
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3
，则
a+b+c
sinA+sinB+sinC
=（　　）
A、
8
3
3
B、
2
39
3
C、
26
3
3
D、2
3
已知等差数列{an}的各项均为正数，且Sn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
，S2=
2
3
，S3=
3
4
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个．
设
1
2
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1
2
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1
2
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．
函数f（x）=2x+sinx的部分图象可能是（　　）
A、
B、
C、
D、

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