Question

已知函数f（x）=-

1

x+2

，x∈[-5，-3]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数的单调性的定义证明单调性；
（2）结合（1）求解最大值和最小值．

解答： 解：（1）函数f（x）=-

1

x+2

，在区间[-5，-3]上为增函数．
证明如下：
任设x₁，x₂?[-5，-3]，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

1

x2+2

-

1

x1+2

=

x1-x2

(x2+2)(x1+2)

∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
∵x₁＜x₂≤-3，
∴（x₂+2）（x₁+2）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函数f（x）=-

1

x+2

，在区间[-5，-3]上为增函数．
（2）根据（1）得
函数f（x）的最小值为f（-5）=

1

3

最大值为：f（-3）=1．

点评：本题重点考查了函数的单调性及其证明，单调性在求解函数最值中的应用等知识，属于中档题．