Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a₃²=9a₂a₆，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a₁+3a₂=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a_n}的通项公式代入设bn=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b_n的通项公式，求出倒数即为

1

bn

的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{

1

bn

}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由a₃²=9a₂a₆得a₃²=9a₄²，所以q²=

1

9

．
由条件可知各项均为正数，故q=

1

3

．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=

1

3

．
故数列{a_n}的通项式为a_n=

1

3n

．
（Ⅱ）b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，
故

1

bn

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

）
则

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=-2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=-

2n

n+1

，
所以数列{

1

bn

}的前n项和为-

2n

n+1

．

点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．