题目内容

函数f（x）=sinxcosx是（　　）
A、最小正周期为2π且在[0，π]内有且只有三个零点的函数
B、最小正周期为2π且在[0，π]内有且只有二个零点的函数
C、最小正周期为π且在[0，π]内有且只有三个零点的函数
D、最小正周期为π且在[0，π]内有且只有二个零点的函数
考点：二倍角的正弦,三角函数的周期性及其求法
专题：计算题,三角函数的图像与性质
分析：运用二倍角的正弦公式化简，再由周期公式求得周期，再令f（x）=0，求得零点，即可判断．
解答： 解：函数f（x）=sinxcosx=
1
2
sin2x，
则最小正周期为
2π
2
=π，
在[0，π]内，令f（x）=0，则x=0，
π
2
，π，即有3个零点，
故选C．
点评：本题考查三角函数的化简和性质，考查函数的周期和零点的问题，属于基础题和易错题．
练习册系列答案
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如果f（
1
x
）=
x
1-x
，则当x≠0且x≠1时，f（x）=
 
．
在锐角△ABC中，已知f（A）=
[cos(π-2A)-1]sin(π+
A
2
)sin(
π
2
-
A
2
)
sin2(
π
2
-
A
2
)-sin2(π-
A
2
)
．
（1）求f（A）的最大值；
（2）当f（A）取得最大值时，A+B=
7π
12
，如果AC=
6
，求AB边和BC边的长．
如图，甲船以每小时30
2
海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10
2
海里，则乙船每小时航行
 
海里．
设双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）恒过定点A（1，2），则双曲线的中心到直线l：x=
a2
c
的距离的最大值为
 
．
若函数f（x）=ax2+2x-1一定有零点，则实数a的取值范围是
 
．
已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=-（x-1）2+1，则当x＜0时，f（x）=
 
．
（1）已知角θ终边上一点P（-3，3），先化简式子
sin(θ-π)cos(
π
2
+θ)
cosθsin(θ+4π)
，再求值；
（2）已知tanα=
1
3
，求tan（π-2α）的值．
已知命题p：
x-1
x+1
＜0，命题q：（x-m）（x-m+3）＜0（m∈R），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

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